##1.傅里叶变换

###1.1. 一维离散傅里叶变换        定义:设$为一维信号的N个采样值,其离散傅立叶变换及其逆变换分别为:

###1.2. 二维离散傅里叶变换        定义:设$为二维图像信号 其离散傅立叶变换及其逆变换分别为:

###1.2. 快速傅里叶变换        设$($为正整数)。下面按照$为奇数和偶数将序列$进行划分，记为

则离散傅里叶变换可以改写成下面的形式

式中，$和$分别是$和$的离散傅里叶变换。一个长度为$的DFT可以转化为两个长度为$的DFT。二维FFT可以由两次一维FFT得到。

###1.3.关键算法 private void setData1(Complex[] data, int power) { this.power = power;

    //角度
    double angle;

    //计算FFT1变换的点数
    count = 1 << power;

    //分配空间
    wc = new Complex[count / 2];
    x = new Complex[count];
    x1 = new Complex[count];
    x2 = new Complex[count];
    fd1 = new Complex[count];

    //初始化
    for (i = 0; i < count / 2; i++)
        wc[i] = new Complex();

    for (i = 0; i < count; i++)
    {
        x[i] = new Complex();
        x1[i] = new Complex();
        x2[i] = new Complex();
        fd1[i] = new Complex();
    }

    //计算加权系数
    for (i = 0; i < count / 2; i++)
    {
        angle = -i * Math.PI * 2 / count;
        wc[i].re = Math.cos(angle);
        wc[i].im = Math.sin(angle);
    }

    //将实域点写入x1
    for (i = 0; i < count; i++)
        x1[i] = data[i];
} 其中，$$$2^{power}=iw或ih$$$，与进行傅里叶变换是行或列有关，Complex表示复数。

##2.离散余弦变换

###2.1.DFT存在的问题

  • DFT的参数都是复数,在数据的描述上相当于 实数的两倍。
  • 为此,我们希望有一种能够达到相同功能但数 据量又不大的变换。

###2.2.DCT-II公式

###2.3.一维离散余弦变换        一维$点离散余弦变换(DCT)可以表示为: 其中，$是输入时域序列中的第$项，$是输出频域序列中的第$项，系数$定义如下:

       一维$点离散余弦逆变换(IDCT)可以表示为:

###2.4.二维离散余弦变换        二维图像$图像块的DCT可以理解为对图像块的每一列进行一维DCT，然后对进行变换的块每列再做一维DCT。表达式如下所示：

###2.5.关键算法        求变换矩阵$

public void coeff(double[][] dct_coef, int n)
	{
    double sqrt_1 = 1.0 / Math.sqrt(2.0);

    for (int i = 0; i < n; i++)
        dct_coef[0][i] = sqrt_1;

    //初始化DCT系数
    for (int i = 1; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            dct_coef[i][j] = Math.cos(i * Math.PI * (j + 0.5) /((double)n));
	}

       DCT正变换$

public void dct(double[][] a, double[][] b, double[][] c, int n)
{
    double x;
    double[][] af = new double[n][n];
	for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            x = 0.0;
            for (int k = 0; k < n; k++)
                x += a[i][k] * b[k][j];
            af[i][j] = x;
        }
    }
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            x = 0.0;
            for (int k = 0; k < n; k++)
                x += c[i][k] * af[k][j];
            a[i][j] = 2.0 * x / ((double)n);
        }
    }
}

其中，$矩阵分别为被变换的矩阵$,变换矩阵的转置$,变换矩阵$